摘要 采用平面应变假设，通过对板料在拉伸筋处变形过程的分析，并考虑了材料的各向异性、应变速率敏感与包辛格效应，推导出一种计算拉伸筋阻力的简便计算解析模型。将计算结果与有关试验结果进行了对比，证明了该计算方法的有效性。 关键词：平面应变 拉伸筋阻力 各向异性 应变速率敏感 包辛格效应 ASIMPLE MATHEMATICAL MODEL
FOR CALCULATING DRAWBEAD RESTRAINING FORCE Li Dayong Hu Ping Li Yunxing
（Jilin University of Technology） 0 前言 设置拉伸筋是冲压模具设计中的一个重要组成部分。拉伸筋具有增加变形阻力，控制材料流动方向，防止起皱等作用。近年来，CAD/CAE/CAM技术逐渐应用到冲压模具的设计与制造中 ［1］ 。用计算机进行冲压成形的有限元模拟，预测成形结果，可以大大降低成本。但是，由于拉伸筋尺寸相对较小，如果与模具中的其他部分一起进行有限元模拟，势必要细分有限元网格，致使效率很低。因此，通常的作法是建立等效拉伸筋阻力模型，为有限元模拟提供准确的边界条件，即拉伸筋阻力。 拉伸筋阻力的计算模型，大体可以分为两种。一是单独对拉伸筋进行有限元模拟，这种方法可以比较直观而准确地反映板材在拉伸筋处的变形过程；另一种方法是建立数学解析模型，根据塑性力学理论并进行必要的简化，推导出拉伸筋阻力的表达式，这种方法比有限元方法更为迅速，而且不会遇到有限元方法中的边界条件不易处理等问题，具有一定的优越性。Wang ［2］ 最早根据平面应变假设推导出一个拉抻筋阻力模型。Levy ［3］ 通过对所做试验数据的拟合，得到一个适合于特定材料的拉伸筋阻力模型。Stoughton ［4］ 根据能量原理，并且引入材料的应变速率敏感性质，推导出一个拉伸筋计算公式。李东升等人 ［5］ 根据各个圆角处的平衡方程，采用刚塑性本构关系，推出一个拉伸筋阻力计算方法并与试验进行了对比。长井美宏等人 ［6］ 将板料在拉伸筋处的构形简化成圆弧与直线，根据能量最小原理得到这一构形，并进一步确定拉伸筋阻力。在本文中，依据平面应变假设，考虑了材料的各向异性与应变速率敏感，并近似处理了包辛格效应的影响，推导出了一种计算拉伸筋阻力的简便数学解析模型，通过与有关试验结果进行对比，表明了本文提出的解析模型的有效性。 1 拉伸筋阻力计算模型 1.1 基本假定
如图1所示为一半圆形拉伸筋，板料通过拉伸筋时要在1～6处发生弯曲(反弯曲)。为简化计算，在板料的变形分析中采用如下假定。 图1 板材通过拉伸筋时的弯曲与反弯曲过程 (1)横截面在弯曲过程中保持平面。 (2)忽略宽度方向的应变(平面应变)。 (3)忽略厚度方向的应力与横向切应力。 (4)在计算每次弯曲的塑性弯矩时忽略中性层的偏移与厚度的变化。 (5)材料本构关系服从Holloman公式并且考虑了应变速率敏感性，可以用下式表示 (1)式中　——等效应力
——等效应变
——等效应变速率
——准静态参考应变速率
K——材料的强度系数
m——材料的应变速率敏感系数 1.2 应力应变关系 板材弯曲的局部坐标系如图2所示，由平面应变及厚向应力、横向切应力为零的假设，可以推出 (2)式中　σ x ——切向应力
ε x ——切向应变
f——与材料各向异性有关的系数
当采用Hill的非二次型屈服函数 ［7］ 并考虑材料的厚向各向异性时，f取值为 (3)式中　r——材料的厚向各向异性系数
p——描述材料屈服轨迹形状的各向异性指数
对于r＜1的材料(例如铝合金)，p=1+r ［8］ ；对于r≥1的材料，p=2 ［9］ 。当p=2，r=1时，f=，退化为Von Mises屈服函数时的情况。
将式(2)代入式(1)，得 (4)式中　K′=f n+1 K 1.3 塑性力矩的计算 先不计及弹性变形的影响，则在第i次弯曲(反弯曲)时塑性力矩近似计算为 (5)式中　｜σ x ｜ i ——切向应力的绝对值
｜ε x ｜ i ——切向应变的绝对值 ｜ε x ｜ i (z)=｜ε x ｜ i-1 (z)+Δ｜ε x ｜ i (z)　　(6)式中　Δ｜ε x ｜ i ——切向应变的绝对增量 (7)式中的R i，ef 为考虑了弯曲角对弯曲半径影响的第i次弯曲时的等效弯曲半径，由下式计算 (8)　R i 为第i次弯曲处的工具圆角，在凹槽处为R g ，在凸筋处为R b ，θ为弯曲角。
设板料通过筋时的速度为v，假定在每次弯曲(反弯曲)时变形集中在一小段距离Δl上发生，则等效应变速率为 (9) 将式(6)～(9)代入式(5)，然后可以通过数值积分计算出每次弯曲(反弯曲)的塑性力矩。 1.4 包辛格效应的引入 板料通过拉伸筋时，要经过数次弯曲与反弯曲，必然存在着包辛格效应。如图4所示，材料达到初始屈服即等效应力达到初始屈服点σ s 时，切向应力为fσ s ，设第一次弯曲后材料某一层纤维的切向应力强化到σ 1 (z)，反弯后屈服点降为σ 2 (z)，σ 1 (z)与σ 2 (z)之差为2fσ s ，则应力降低率为 　　　(10) 3 弯曲反弯过程中的切向应力应变关系 取各纤维的应力降低率的总体平均值作为第一次反弯曲时的平均应力降低率 　　　(11) 式中　z y ——材料中刚好达到屈服的一层纤维的z向坐标，并且有η(z y )=1
假定以后每次弯曲后反弯时的应力降低率保持η av 不变，并且在板料的曲率经反弯变成零后到下次再次弯曲之间忽略包辛格效应。 1.5 弹性力的计算 虽然板料在拉伸筋处的变形主要是塑性变形，但是弹性变形对拉伸筋阻力还是有着一定的影响。为了考虑弹性变形对拉伸筋阻力的影响，把拉伸筋处的板料等效成如图4所示的一个在中央作用一集中力的弹性简支梁，简支梁的长度为L=2(R g +R b +c)，集中力即弹性力F e 为板料表面刚刚达到屈服时的载荷。由材料力学容易求得 (12) 1.6 弯曲角的计算 由图1中的几何关系，［(R b +R g +c)-(R b +R g +δ)sinθ］tanθ=h-(R b +R g +&de lta;)(1-cosθ)　　　(13) 经过推导可以得出 (A 2 -1)tan 2 θ-2A(B-1)tanθ-B(2-B)=0　　(14) 式中　

　　　 c——筋与凹槽之间的间隙
　　　 h——筋的闭合深度
　　　 δ——板厚
当A＞1，即c＞δ时 　　(15) 当A=1且B＜1时 　　　(16) 当A=1且B=1时 　　　(17) 1.7 拉伸筋阻力的计算 如图5所示为板料在一圆角处的弯曲与反弯曲过程，可以建立如下平衡方程 ［5］ 图5 圆角处的弯曲反弯过程 (18)式中　F t,0 ，F t,1 ——进入圆角前后的切向力
M 1 ，M 2 ——弯曲与反弯曲的弯矩
μ——摩擦因数 经过对板料通过拉伸筋时在每一圆角处弯曲与反弯曲的分析，并且考虑到弹性力与包辛格效应，最后可以得到半圆形拉伸筋阻力为 (19) 2 计算结果与试验对比 利用以上公式编制了计算程序，根据Nine ［10］ 的经典拉伸筋试验进行计算并与文献［10］中试验结果进行了对比。 根据文献［10］，取图1中的拉伸筋几何参数为：R g =5.5mm，R b =5.5mm，h=R g +R b +δ。板材通过筋的速度为v=85mm/s，初始拉力F t,0 =0。材料为沸腾钢、A-K钢和2036-T4 Al 3种，材料的具体参数及润滑条件同文献［10］中相同。 对以上各板料在各种润滑条件下通过拉伸筋时的拉伸筋阻力进行计算，并与Nine的结果进行了对比，如下表所示。 表 拉伸筋阻力F DBR 计算结果与试验结果的比较

材 料	板厚δ/mm	摩擦因数μ	试验值F DBR /kN	计算值F DBR /kN	误差e/%
沸腾钢	0.76	0.000	3.3	3.10	-6.1
	0.76	0.070	4.1	3.92	-4.4

.83 0.81