一、子午线轮胎活络模具型腔的设计难点

由于子午线轮胎具有能够承受较大内应力、胎面不易变形、良好的地面抓力和稳定性好等优点，因而在汽车中应用广泛。但是，子午线轮胎活络模设计与制造较难，主要体现在模具的工作型面精度不易控制、开模与合模机构的协调及分型面加工要求较高等方面 [1-3] 。其中，子午线轮胎活络模具型腔曲面构造方法对模具的工作型面有较大的影响 [4] 。国内外学者研究了多种构造方法，其中以蒙皮面 [5] 、乘积型曲面 [6] 和 NURBS 曲面 [7] 为主，这些方法可以在已知型值点的情况下构造出比较光顺的曲面，且可以方、便地控制构造精度。但仍存在不足，如曲面构造中可能会出现不确定性扭矢、曲面光滑拼接时边界条件过多或过约束 [7] 等。

本文以某轿车子午线轮胎花纹为例，针对曲面光滑拼接的要求，应用 B 样条曲面（ B-Spline Class ， BSC ）算法构造出子午线轮胎活络模具型腔曲面，并分析了其应用效果。

二、由轮胎图提取花纹块外轮廓

活络模的生产步骤为：首先根据轮胎花纹展开图设计制造轮胎花纹块模具；然后精密铸造花纹块，经打磨和抛光后将花纹块装配在轮胎模外圈上后车削分模面，最后检验并试模。根据轮胎花纹轮廓展开图设计花纹块模具步骤为：由轮胎图提取出花纹块的轮廓，并作等比放大（花纹块材料通常选用铸钢，其收缩率约为 2.5% ）；根据工艺要求设计模具型腔；适当调整型腔尺寸，使之符合加工要求。

图 1 为 11R22.5LM516 型轮胎花纹展开图，为表示清楚，图中仅标注了一个尺寸。由轮胎花纹展开图提取出花纹块的轮廓时，需要根据展开图中花纹沟槽的尺寸及结构确定花纹块的顶部、侧壁和底部尺寸。

对于花纹块顶部，提取出如图 2 所示的外轮廓。提取的依据是花纹的磨削余量、花纹块的构成以及结构刚度，考虑到铸件的收缩率，将图 1 中的尺寸 18mm 改为 18.45mm 。

对于花纹块侧壁和底部，通常在花纹展开图设计时给定了一些关键部位的剖面图，考虑到修磨和抛光等后续工序，花纹块侧壁及底部应在花纹沟槽的基础上卜作适当放大。通常将内腔侧壁和底部沿法向分别偏移一定距离，并调整底部圆角半径。得到花纹块的外形尺寸后即可设计出花纹块精密铸造成型模具，其模具工作型面和设计的花纹块外形一致。

三、由花纹沟槽展开轮廓变换为活络模花纹块轮廓

由上述可知，用于模具制造的花纹块轮廓和轮胎上花纹沟槽的轮廓，在外形上既相似，又有所不同。在设计花纹块及花纹块模具时，需要研究两者轮廓之间的变换关系。图 3 为由花纹沟槽展开轮廓变换为活络模花纹块轮廓的过程。图中的坐标系 oxyz 以轮胎的轴向为 y 轴，以轮胎中分面上相互垂直的 2 个径向为 x 、 z 轴。坐标系 o ′ x ′ y &prim

e; z ′位于胎顶，轮胎花纹的展开轮廓 G1 位于 o ′ x ′ y ′平面上。将展开轮廓分别绕坐标系 o ′ x ′ y ′ z ′的 x ′轴（即沿轮胎的周向）和坐标系。 oxyz 的 x 轴等长卷弯到轮胎顶面上，从而形成所示的空间曲线轮廓 C2 。

设胎顶半径为 R1 ，行驶面断面的半径为 R2 ，则在 oxyz 坐标系中平面轮廓上任一点可记为 P （ x1 ， y1 ， R1 ）。图 4 为等长卷弯过程中 P 点的变化情况。图 4a 为沿 z 轴负方向观察时的平面图， P 在 xoz 平面上的投影为 Po （ x1 ， O ， Rl) 。图 4b 为 P 点绕 y ′轴旋转时的坐标变化情况，此时花纹展开轮廓的曲线长保持不变，它在胎顶回转面上的长度等于 oPo ，故θ 0 的弧度为 x1/R1 ，从而 Po ′点的坐标为：

式中， zo 为 Po ′的坐标，其值也等于 Po ′处周向半径 R3 。

图 4c 为点 Po ′绕 x 轴弯曲到点 P ′时的坐标变换情况，此时轮胎周向弧长保持不变刀，θ 1 的弧度值为 y1/R3 ，故 P ′的坐标为：

为了便于计算，司以根据加工精度要求将展开轮廓离散为若干个数据点，并根据式（ 1 ）和式（ 2 ）进行卷弯。离散点集必须包含轮廓上的关键点，如胎顶、胎肩和一阶、二阶导数不连续的点，以确保拟合花纹空间轮廓曲线时形状不失真。

经过花纹沟槽展开轮廓变换为活络模花纹块轮廓，可得到活络模花纹块轮廓离散化点集，这些点集与花纹块精密铸造模具型腔轮廓离散点集一致。这些离散的轮廓点集不可以用来表示型腔曲面，应构造得到模具型腔曲面。型腔曲面包括顶面、侧壁和底面。由于顶面和底面均为环面的一部分，故这里仅讨论侧壁面的构造。

四、活络模花纹块精铸模具侧壁曲面片构造

常见曲面片构造方法有三维 CAD 系统建模和计算机辅助几何设计技术构造 [8] 。三维 CAD 系统可以解决多数实际问题，但曲面的光顺性评估指标以及误差传播等间题还未解决。运用 CAGD 技术构造空间自由曲面可以克服

或减少上述缺点，并可控制曲面构造的精度。为此，采用 B 样条曲面算法构造出子午线轮胎活络模具型腔曲面。该方法的优点是，曲面构造过程中赋予每一控制顶点相应的权值，能够较灵活地控制曲面的形状。

二阶 B 样条曲面（ BSC 曲面）的表达式为：

根据式（ 1 ）和式（ 2) 计算得到的型腔顶部、底部轮廓离散点是不均匀的，应首先根据离散关键点为界，拟合出若干条光滑曲线，然后把它们拼接为一条组合曲线。拟合时可采用多项式、样条曲线等方法。设由式（ 1 ）和式（ 2) 构造得 u 线和 v 线构成的控制多边形网格为 Aij ，则可由式（ 3) 获得型腔曲面。

具体地，可以通过下面的方法求出该曲面上的任何一点的坐标值。如图 5 ，在坐标系 oxyz 中，设 Aij ＝ [xij ， yij ， zij] ， s 、 t 分别为沿曲面 u 向和 v 向的参数，且 s 、 t ∈ [0 ， 1] 则曲面上任一点的坐标值为：

根据上述构造过程可以得到曲面侧壁曲面片的方程。通过改变权函数 uij 以及曲面的阶数，可以控制曲面的构造精度。但是，由于花纹块模具型腔是多个曲面片的拼接，因此应考察曲面片之间的光滑拼接算法。

五、曲面片间的光滑拼接

两面拼接的目的是构造一张曲面，使其连接给定曲面指定的边界，并在连接处保持光滑 [6] 。设两个 m × n 次曲面片为：

两曲面光滑拼接时，与它们公共边界相对的两条边界应分别在公共边界的两侧，从而使公共边界不形成尖棱。另一方面，光滑拼接时还要使 P （ u ， v ）的次数不变。用公式表达为：

这些一阶差分分别表示控制网格上相应的边矢量。式（ 8 ）表明，当相交于定义公共边界的每一控制网格边矢量满足一定的关系时，两曲面沿公共边界才能达到 C1 连续。

通过上述算法可以求得连接给定两张曲面指定边界的拼接曲面，并保证在连接处保持 C1 连续。

六、应用实例

应用 BSC 曲面构造法得到的活

络模花纹块精铸模具侧壁曲面模型如图 6a 所示；图 6b 为在花纹 p 部位（图 2 ）附近的曲面光滑拼接区域测得的曲率沿轮廓线方向的变化趋势，可以看出曲率变化是平滑的，未出现尖锐倒棱等情况；图 6c 为加工出的花纹块，其胎冠高、胎肩距误差均不超过 0.05mm ；图 6d 为装配完成的活络模，装配累积误差不超过 0.15mm ，生产出的轮胎各项指标均符合技术要求。

七、结束语

轮胎曲面是由平面轮廓分别向轴向和周向分别卷曲形成的。根据展开长度不变的原理，利用离散点构造为 BSC 曲面片，并通过曲面的光滑拼接实现子午线轮胎活络模曲面的构造。其实现思想是根据自由曲面的形成过程而研究其曲面性质，并引人加权因子，以便构造的曲面精度和运算量可以调整，从而根据制造精度要求作相应的造型。该曲面构造法已在生产实践中获得成功应用，句以推广至类似的自由曲面构造与加工中。但是，该方法中权因子的确定理论以及曲面阶数的确定对经验性依赖较多，因而需进一步研究。

参考文献

1 ．付玉升等 . 基于汽车轮胎花纹的空间曲面造型研究农业机械学报， 2005 ， 36 （ 5 ）： 20 ～ 22

2 ．尹清珍等 . 全钢子午线轮胎活络模的初步研究 . 特种橡胶制品 2006 ， 27 （ 3):45 ～ 47

3 ．王黎黎等 . 子午线轮胎活络模易出现的问题及解决措施轮胎工业， 2005 ， 25 （ 9) ： 567 ～ 570

4 ．庄继德现代汽车轮胎技术北京：北京理工大学出版社， 2001

5 ．范玉鹏等 . 雕塑曲面型腔粗加工刀位轨迹生成算法 . 计算机辅助设计与图形学学报， 1998 ， 10 （ 3) ： 241-247

6 ． PARK S C.Sculptured Surface Machining Using TriangularMesh Slicing. Computer-Aided Design ， 2004 ， 36 ： 279-288

7 ． Goel V K ， Tripathi R ， Gupta R.An approach for Improvementin Tread Pattern Design.Journal of the Institution of Engineers （ India ）： Mechanical Engineering Division ， 2002 ， 82 （ 3 ）： 160 ～ l63

8 ．桂贵生等多圆角相交曲面的构造和 NC 加工刀位数据计算 . 哈尔滨工业大学学报， 2003 ， 35 （ 10) ： 1240-1243